Re: 《數學543》站在七星山看玉山 - 健行

原文底下推文都沒有真正回答到問題,該是回一篇認真文的時候了 XD

我用程式跑過玉山的展望圖,在玉山頂是看不到七星山的:

http://web.mit.edu/~ypwang/maps/yushan.png

同理在七星山頂也無法看到玉山.


但如果只想知道七星山能不能看到玉山,而不想費工夫寫程式然後花一個多小時跑程式呢?

首先打開"Google地球",從七星山(海拔1120m)到玉山(海拔3952m)拉一條直線,

(Google地球的地形解析度不夠高,拿來判斷兩山頭能否對望不甚準確,

所以用Google地球的目的只是簡易測量出兩山頭的距離)

可得知七星山與玉山直線距離為197.6km,七星山往玉山的方位角是197.8度.


檢視這條直線上,除了玉山山體本身以外,最高點在池有山跟桃山之間的稜線上,

差不多正好在從武陵登池有山跟桃山的三叉路口,

比對地形圖,此處有一座小山頭海拔3265m,距離七星山86.0km.

(由於此山頭是池有山的副峰,離池有山很近,本文之後即以"池有山"稱之.)



首先作圖計算從七星山望玉山的仰角或俯角度數:

E
↘.______________________________ C 玉山頂
:_______........-------'''''''''
↗| .'
七星山頂A | .'
B|'''`---.._ .'
| `-.. .' AB = 七星山高 = 1.120 km
| `-. .'
| :: CD = 玉山高 = 3.952 km
| .' D
| .' BO = DO = 地球半徑 = 6371 km
| .'
| .' θ = 地心角 = 197.6 km / 6371 km
| .'
| θ .' = 0.03102 弧度 = 1.777 度
|''-.'
| .'
|'
O 地心

欲計算七星山望玉山的仰角,則要先計算AE與CE的長度,再取arctan即可.

(上圖假設七星山望玉山為仰視,若計算出AE為負值,即代表俯視)

OC = CD + DO = 3.952 km + 6371 km = 6374.952 km,

OE = OC * cos(θ) = (6374.952 km) * cos(1.777度) = 6371.886 km,

OA = AB + BO = 1.120 km + 6371 km = 6372.120 km,

AE = OE - OA = 6371.886 km - 6372.120 km = -0.234 km.

CE = OC * sin(θ) = (6374.952 km) * sin(1.777度) = 197.691 km,

故七星山望玉山的仰角為: arctan(-0.234 km / 197.691 km) = -0.068度.

也就是說,七星山若能看到玉山,高度為俯視0.068度.


可以用同樣的示意圖,來計算七星山望池有山的仰角:

H
↘.______________________________ F 池有山頂
:_______........-------'''''''''
↗| .'
七星山頂A | .'
B|'''`---.._ .'
| `-.. .' AB = 七星山高 = 1.120 km
| `-. .'
| :: FG = 池有山高 = 3.265 km
| .' G
| .' BO = GO = 地球半徑 = 6371 km
| .'
| .' θ = 地心角 = 86.0 km / 6371 km
| .'
| θ .' = 0.01350 弧度 = 0.7734 度
|''-.'
| .'
|'
O 地心

欲計算七星山望池有山的仰角,則要先計算AH與FH的長度,再取arctan即可.

(上圖假設七星山望池有山為仰視,若計算出AH為負值,即代表俯視)

OF = FG + GO = 3.265 km + 6371 km = 6374.265 km,

OH = OC * cos(θ) = (6374.265 km) * cos(0.7734度) = 6373.684 km,

OA = AB + BO = 1.120 km + 6371 km = 6372.120 km,

AH = OH - OA = 6373.684 km - 6372.120 km = 1.564 km.

FH = OC * sin(θ) = (6374.265 km) * sin(0.7734度) = 86.041 km,

故七星山望玉山的仰角為: arctan(1.564 km / 86.041 km) = 1.042度.

也就是說,七星山若能看到池有山,高度為仰視1.042度.


既然七星山看玉山是俯視,七星山看同一條直線上的池有山是仰視,

這表示從七星山頂,池有山"看起來"比玉山還高,

那麼理所當然,從七星山看玉山時,玉山會被池有山擋住.

結論就是:七星山無法看到玉山。

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